Mit masy rotowanej

Z lektury artykułu o fizyce roweru wiemy, że masa elementy ruszające się względem ramy roweru posiadają dwojaką naturę. Z jednej strony stanowią one oczywiście bonus do ogólnej masy roweru. Jednakże poza tym czynnikiem stanowią jeszcze element króry magazynuje energię kinetyczną związaną ze swoją masą i dodatkowo magazynuje energię kinetyczną związaną z swoim ruchem względem roweru.

Energia kinetyczna związana z elementami ruchomymi to w większości energia ruchu obrotowego – kół, zębatek, korb. Kolokwialnie zwane jest to masą rotującą. Korby kręcą się w miarę powoli, przez co głównym elementem, praktycznie kojarzonym z masą rotującą, są koła. W tym artykule ograniczę się tylko do kół. Jednakże rozważania te są prawdziwe dla każdego elementu w rowerze który kręci się wokół jakiejśtam osi

Koła na papierze spełniają wszystkie wymagania aby, przynajmniej "na oko", wydawać się ważnym elementem w bilansie oporowo-energetycznym roweru. I rzeczywiście – wokół 'masy rotowanej' narósł prawie religijny kult, straszący potężnymi konsekwencjami "ciężkich" kół.

Cóż. Przeprowadźmy eksperyment – jak bardzo jest ten kult uzasadniony.

Zaczynając nasze rozważania uściślijmy jedną rzecz. Nasza 'masa rotująca' czyli koła posiada dwa istotne parametry. Jednym jest oczywiście masa senso-stricte:

http://pl.wikipedia.org/wiki/Masa_(fizyka)

Jeżeli odetniemy sprawy związane z ruchem obrotowym, to masa koła ma identyczny wpływ na fizykę poruszania się roweru jak każdy inna masa którą rower wiezie. Czyli – nie licząc spraw 'obrotowych' 1 kilogram koła = 1 kilogram ramy = 1 kilogram korby = 1 kilogram rowerzysty. Temat masy poruszam w innym artykule :).

Drugim zaś jest clou problemu – czyli moment bezwładności.

http://pl.wikipedia.org/wiki/Moment_bezwładności

Moment bezwładności jest czynnikiem który odpowiada za wszelakie opory roweru związane z ruchem obrotowym jego części.

Warto zauważyć od razu:

• moment bezwładności kół, oczywiście, nie ma wpływu na aerodynamikę roweru. Więc siłą rzeczy nie ma wpływu na dominujący czynnik podczas szybkiej jazdy.
• moment bezwładności kół, oczywiście, nie ma wpływu na opory wynikające z nachylenia terenu. Wynika to z tego, iż podjazd to nabieranie energii potencjalnej w polu grawitacyjnym, zaś pojęcia „energii potencjalnej ruchu obrotowego” po prostu nie ma ( alternatywnie – nie spotkałem się z takowym )
• ze względu na ten wniosek od tego momentu każde odwołanie się do masy roweru/rowerzysty w tym artykule oznacza rozpatrywanie jej w kategoriach energii kinetycznej i całkowicie zignorowanie podjeżdżania.
• moment bezwładności kół, oczywiście, nie ma wpływu na opory mechaniczne, czyli opory kręcenia łożysk, opory toczenia etc.

Już z tej listy widać, iż coś jest nie w porządku, gdyż te trzy czynniki, jak już wiemy :) są dominującymi „źródłami” oporów i tak naprawdę one ograniczają prędkość maksymalną.

Jaki więc wpływ na kinematykę roweru ma moment obrotowy, kół w szczególności?

Moment bezwładności pełni w ruchu obrotowym tę samą rolę, co masa pełni dla ruchu prostoliniowego. Więc, analogicznie jak dla ruchu prostoliniowego, moment bezwładności będzie wpływać na przyspieszenie.

W skrócie – im cięższe koła, tym wolniej będziemy nabierać prędkości.

Istotnym pytaniem jest zatem – jak wielki jest wpływ momentu bezwładności kół na przyspieszenie?

Zacznijmy od pewnego poziomu podstawowego.

• Rowerzysta jedzie z prędkością 8m/s, czyli 28.8km/h. Prędkość dobra jak każda inna :)
• Rowerzysta wraz z rowerem ważą 80kg. Podobnie, wartość dobra jak każda inna

Jak łatwo policzyć ( przypominam, energia kinetyczna to E=0.5 * m * v^2 ) , energia kinetyczna rowerzysty to 2560J. Jest to, oczywiście, energia kinetyczna bez uwzględnienia energii kinetycznej ruchu obrotowego kół.

Aby dodać energię kinetyczną ruchu obrotowego poczyńmy pewne założenia które uproszczą nasze rozważania.

Moment bezwładności ciała punktowego wyrażany jest wzorem

I = m * r^2

• – moment bezwładności
• – masa ciała
• – odległość ciała od osi obrotu

Jak widać, kluczowym elementem tego wzoru jest odległość od osi obrotu. To istotne, gdyż oznacza, iż dużo większy wpływ na moment bezwładności koła będzie mieć masa obręczy i opony niż masa piasty. To również oznacza, iż możemy dokonać pewnego istotnego założenia które uprości dalsze rozważania.

Mianowicie.

Koła naszego roweru są magiczne :) i składają się tylko z opony która jest torusem o średnicy zewnętrznej 50mm. Średnica zewnętrzna tej opony to 700mm.

Łączna masa obu kół to 2kg.

To założenie jest istotne dlatego, iż moment bezwładności zależy od kształtu obiektu. Dla prostych figur geometrycznych wzory na moment są znane, dla bardziej złożonych obiektów trzeba je wyprowadzać tudzież uprościć obiekt do złożenia figur prostych. Tutaj oczywiście wybrałem prostsze rozwiązanie.

W każdym razie wzór na moment bezwładności torusa z osią obrotu w środku to:

I = m ( R^2 + 0.75 * r^2 )

Gdzie

• I – moment bezwładności
• M – masa
• R – średnica torusa
• r – średnica przekroju torusa

W naszym przykładzie

R = 0.338m ( średnica koła - 0.7m -> promień 0.35m -> 0.025 na oponę :) )

r = 0.025m

m = 2kg

Co daje nam moment bezwładności:

I = 0.238 kg*m^2

Tyle, że interesuje nas nie tyle wartość momentu bezwładności, a energia kinetyczna przy prędkości 8m/s.

Energia kinetyczna ruchu obrotowego wyraża się wzorem

E = 0.5 * I * w ^ 2

gdzie:

• E - energia kinetyczna
• I – moment bezwładności
• w – prędkość kątowa obiektu

Zależność prędkości kątowej koła od prędkości liniowej na obwodzie koła wyraża się wzorem

w = V / R

gdzie:

• – prędkość kątowa
• – prędkość liniowa na obwodzie koła ( czyli prędkość roweru )
• – promień koła

W naszym przypadku

I = 0.238 kg*m^2

w = 22.857 rad/s

Energia kinetyczna ruchu obrotowego wynosi zatem

E = 59.75 ~ 60J

Dodając tę wartość do całkowitej energii kinetycznej roweru, czyli 2560J wychodzi nam 2620J.

Warto tutaj zauważyć, iż energia kinetyczna kół ze względu na ruch obrotowy wynosi 2% całkowitej energii kinetycznej roweru.

Dodajmy, że te same koła zmagazynowały 64J energii kinetycznej związanej z ruchem prostoliniowym, co stanowi 2.5% energii kinetycznej naszego roweru oraz oznacza, że koła w naszym przykładzie magazynują 4.5% energii kinetycznej całości roweru.

Myślę, że stąd wziął się mit, iż „1kg masy koła to 2kg masy gdzie indziej”. Dokładny wniosek zaś powinien brzmieć „Elementy rotujące stanowią podwójny magazyn energii kinetycznej w rowerze. Energii kinetycznej ruchu posuwistego oraz energii kinetycznej ruchu obrotowego, inne elementy posiadają tylko komponent energii kinetycznej ruchu posuwistego”

Wiemy już, że moment bezwładności i masa są miarą tego samego zjawiska – czyli nabierania przez rower energii kinetycznej. Więc warto zapytać – jak wielkie korzyści przyniesie nam, np. zmniejszenie wagi kół o jakąś wartość.

Otóż, bez zanudzania całkami i innymi tego rodzaju bzdurami :) w obu przypadkach – tak ruchu obrotowego jak i posuwistego, doznawane przyspieszenie, zgodnie z 2 zasadą dynamiki, jest odwrotnie proporcjonalne do masy.

Z tego możemy wysnuć wniosek, że jeżeli ograniczymy masę koła o 10%, to wpływ masy tegoż na przyspieszenie będzie o 10% mniejszy. W naszym przykładzie odchudzenie kół z 2kg do 1.8kg spowoduje, że zamiast 124J będą magazynować 112J.

Spowoduje to spadek całkowitej energii kinetycznej roweru z 2620J do 2608J, czyli spadek całkowitej energii kinetycznej o przytłaczające 0.5%.

To zaś oznacza, że prędkość maksymalną rowerzysta osiągnie 0.5% szybciej.

Z drugiej strony, miejmy na uwadze, że zmiana z '200g na kole' na '200g na ramie' daje jeszcze mniejsze profity, gdyż ledwie 0.2%!

Ergo: wszelakie opowieści o gigantycznych różnicach pomiędzy 'lekkimi' a 'ciężkimi' kołami można włożyć między bajki :)

Jednakże, skoro już wiemy, że występuje taka różnica, jaki jest użytek z takiej wiedzy?

Myślę, że przejmowanie się masą rotującą ma sens tylko wtedy gdy można z niej wyciągnąć jakieś konkretne korzyści, co de facto sprowadza się tylko do ścigania się na poziomie, gdzie pomiędzy zawodnikami występują milisekundowe różnice w wyniku końcowym. W innych przypadkach zaś, nie należy się przejmować. Pośród wszystkich 'przeszkadzajek' w jeździe, masa kół jest najmniej istotnym czynnikiem.

Wciąż nie przekonany/a/o/u/i/e Mit masy rotowanej, Addendum